Высшая алгебра
Программа по курсу
Высшая алгебра
I. Матрицы и определители
- Введение. Линейность в физике и математике. Матрицы, операции над матрицами, свойства операций. Транспонирование. Линейное преобразование. Блочные матрицы, прямая сумма матриц, алгебраические свойства прямой суммы. Коммутатор и антикоммутатор. След матрицы. Группа подстановок и симметрическая группа.
- Определитель матрицы (два определения). Минор и алгебраическое дополнение. Два типа миноров. Теорема №1 Лапласа. Основные свойства определителей. Определитель произведения матриц det(AB) = det(A) det(B), теорема №2. Формула Бине-Коши. Обратная матрица, теорема №3. Матричное уравнение.
- Линейная зависимость строк и столбцов матрицы, теорема №4. Ранг и базисный минор матрицы. Методы вычисления ранга: метод элементарных преобразований и метод окаймляющих миноров. Теорема №5 о базисном миноре. Ранг произведения матриц: Rang (AB) = ? Теорема №6 о det (A) = 0.
II. Линейное пространство
- Линейное пространство, вещественное и комплексное. Основные примеры линейных пространств. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов, теорема №7. Размерность пространства. Базис и координаты. Примеры базисов. Единственность разложения вектора по базису, теорема №8.
- Подпространство и линейная оболочка системы векторов, размерность линейной оболочки. Прямая сумма линейных пространств, теорема №9. Объединение и пересечение линейных пространств, теорема №10 о размерности объединения пространств. Изоморфизм линейных пространств, теорема №11. Преобразование координат вектора при преобразовании базиса.
III. Системы линейных уравнений
- Системы линейных уравнений (СЛУ). Способы записи и их классификация. Совместность СЛУ, теорема №12 Кронекера-Капелли. Крамеровские системы линейных неоднородных уравнений. Формула Крамера. Метод К.Гаусса решения системы линейных уравнений. Решение однородной СЛУ, тривиальное и нетривиальное решения, теорема №13. Фундаментальная система решений однородной СЛУ. Общее решение, пространство решений. Свойства решений неоднородной и соответствующей однородной системы уравнений.
IV. Евклидова пространство.
- Система аксиом скалярного произведения. Комплексное и вещественное евклидовы пространства. Общий вид задания скалярного произведения конечномерного линейного пространство. Основные примеры задания скалярных произведений в различных линейных пространствах. Неравенство Коши-Буняковского. Примеры неравенств Коши-Буняковского. Определения угла между двумя векторами и нормы (длины) вектора. Нормированное пространство.
- Ортогональность векторов и ортогональный базис, теорема №14. Свойства ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама–Шмидта, теорема №15. Матрица Грама. Геометрический смысл определителя матрицы Грама
V. Линейные операторы
- Линейный оператор. Операции над линейными операторами и их свойства. Простраство линейных операторов. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве. Ядро и образ линейного оператора, примеры. Теорема №16 о сумме размерностей ядра и образа. Ранг линейного оператора. Обратный оператор и условия существования обратного оператора.
- Структура линейного прератора. Инвариантное пространство. Вид матрицы линейного оператора в случае существования инвариантных пространств. Одномерные инвариантные подпространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, теорема №17. Характеристическое уравнение и характеристический полином.
- Спектр линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора, теорема №18. Подобные матрицы и их свойства. Теорема №19 о свойствах собственных векторов линейного оператора. Диагонализация матрицы линейного оператора, теорема №20. Понятие жордановой формы матрицы.
- Сопряженный оператор, теорема №21. Эрмитов оператор и свойства операции эрмитова сопряжения. Свойство собственных векторов и собственных значений эрмитова оператора, теорема №22. Унитарный (ортогональный) оператор и его основные свойства. Общий вид ортогонального оператора на плоскости.
VI. Билинейные и квадратичные формы. Функции от матриц
- Билинейная и квадратичная формы. Полуторалинейная форма. Классификация квадратичных форм, критерий Сильвестра. Нормальный и канонический виды квадратичной формы. Преобразование квадратичной формы при преобразовании базиса, теорема №23. Ранг квадратичной формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Метод ортогонального преобразования квадратичной формы к каноническому виду, теорема №24. Закон инерции. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов, теорема №25.
- Спектральное разложение эрмитова оператора. Свойства проэкторов. Теорема №26 Гамильтона–Кэли.
- Функции от матриц. Полиномиальная матрица и минимальный полином.. Интерполирующий полином Лагранжа–Сильвестра.
Типы матриц
- Прямоугольная, квадратная, треугольная, диагональная, единичная
- Вырожденная, невырожденная
- Симметричная, антисимметричная (кососимметричная)
- Эрмитовая, антиэрмитовая, унитарная и ортогональная.
- Подобные матрицы
Литература:
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. “Линейная алгебра”
- Федорчук В.В. “Курс аналитической геометрии и линей ной алгебры”
- Гельфанд И.М. “Лекции по линейной алгебре”
- Александров П.С. “Курс аналитической геометрии и высшей алгебры”
- Курош А.Г. “Курс высшей алгебры”
- Шилов Г.Е. “Конечномерные линейные пространства”
- Кострикин А.И., Манин Ю.М. “Линейная алгебра”
- Гантмахер Ф.Э. “Теория матриц”
- Карнаков В.А. “Избранные вопросы линейной алгебры”